$p$-进平展 Tate 扭的 Gersten 猜想与 $p$-进闭链类映射

我们证明了混合特征下光滑概形 $X$ 在 Nisnevich 拓扑中 $p$-进平展 Tate 扭的 Gersten 猜想。我们的主要观察是，尽管 $p$-进平展 Tate 扭不是 $\mathbb A^1$-不变的，但对于 Gersten 猜想的证明，它们满足 $\mathbb P^1$-丛公式即足够。这与 Elmanto-Morrow 和 Annala-Hoyois-Iwasa 最近发展的非 $\mathbb A^1$-不变动机上同调中对射影丛公式的强调很好地契合。此外，将 $p$-进平展 Tate 扭等同于 Bhatt-Morrow-Scholze 定义的 syntomic 上同调，该结果将 Gros-Suwa 关于对数 deRham-Witt 层的 Gersten 猜想推广到任意特征。在本文的第二部分，我们重新审视了从 $X$ 的特殊纤维上的增厚零闭链到以 $p$-进平展 Tate 扭为系数的平展上同调的闭链类映射，该映射此前在文献 [27] 中被研究。此闭链类映射在研究局部域上光滑射影簇的零闭链中具有重要作用，且我们在本文中使用的闭链类映射方法更具概念性，与上述文献中的方法相比，适用于任意有限剩余域。