$p$-adic 辛几何可积系统及 Weierstrass-Williamson 理论 I

可积系统的局部辛几何理论对于理解其全局理论以及已知可积的经典和量子力学模型（如 Jaynes-Cummings 模型和耦合角动量）在奇点附近的行为至关重要。我们在 4 维 $p$-adic 解析辛流形上建立了可积系统的局部辛几何基础，通过对所有可能的局部模型进行分类来实现。为此，我们发展了一种独立的新方法，用于理论 Weierstrass 和 Williamson 中关于实矩阵通过实辛矩阵对角化的问题。我们展示了这种方法可以推广到 $p$-adic 矩阵，从而对实 $(2n) \times (2n)$ 矩阵以及 $p$-adic $2 \times 2$ 和 $4 \times 4$ 矩阵的正规形进行分类，包括在维数 4 以下的退化情形，其在实数情形中甚至文献中也有限。结合这些结果和 Hardy-Ramanujan 公式，显示 $p$-adic 矩阵正规形的数量以及 $p$-adic 可积系统的局部模型数量随维数几乎呈指数增长，这与实数情形形成鲜明对比。这些结果符合 Voevodsky、Warren 和第二作者约 10 年前提出的项目，该项目旨在开发 $p$-adic 可积系统理论，以便稍后在证明助手中实现。本文将证明关于可积系统的全部陈述；其证明依赖于 $p$-adic 类似 Weierstrass 和 Williamson 矩阵理论的证明。关于这一新 $p$-adic 矩阵理论的证明在代数和数论方面具有挑战性，我们将在后续论文（第二部分）中给出。