关于Williamson定理到实对称矩阵的推广

Williamson定理指出，若 $A$ 是一个 $2n \times 2n$ 实对称正定矩阵，则存在一个 $2n \times 2n$ 实辛矩阵 $M$，使得 $M^T A M=D \oplus D$，其中 $D$ 是一个 $n \times n$ 对角矩阵，其对角元素为正，称为 $A$ 的辛特征值。该定理已知可推广到 $2n \times 2n$ 实对称半正定矩阵，其核为 $\mathbb{R}^{2n}$ 的辛子空间，此时 $D$ 的某些对角元素允许为零。在本文中，我们进一步将Williamson定理推广到 $2n \times 2n$ 实对称矩阵，允许 $D$ 的对角元素为任意实数，从而将辛特征值的概念扩展到实对称矩阵。此外，我们提供了辛特征值的显式描述，构造了实现Williamson定理型分解的辛矩阵，并建立了一类记为 $\operatorname{EigSpSm}(2n)$ 的 $2n \times 2n$ 实对称矩阵的辛特征值扰动界。集合 $\operatorname{EigSpSm}(2n)$ 包含核为 $\mathbb{R}^{2n}$ 辛子空间的 $2n \times 2n$ 实对称半正定矩阵。我们对 $\operatorname{EigSpSm}(2n)$ 的辛特征值扰动界推广了Bhatia和Jain在[J. Math. Phys. 56, 112201 (2015)]中给出的正定矩阵辛特征值的已知扰动界。