Williamson 定理中辛矩阵的块扰动

Williamson 定理指出，对任意 $2n \times 2n$ 实正定矩阵 $A$，存在 $2n \times 2n$ 实辛矩阵 $S$ 使得 $S^TAS=D \oplus D$，其中 $D$ 为 $n\times n$ 对角矩阵，其正对角元称为 $A$ 的辛特征值。设 $H$ 为任意 $2n \times 2n$ 实对称矩阵，使得扰动后矩阵 $A+H$ 仍为正定。本文中，我们证明 Williamson 定理中对角化 $A+H$ 的任意辛矩阵 $\tilde{S}$ 具有形式 $\tilde{S}=S Q+\mathcal{O}(\|H\|)$，其中 $Q$ 为 $2n \times 2n$ 实辛且正交矩阵。此外，$Q$ 具有辛块对角形式，其块尺寸由 $A$ 的辛特征值重数的两倍给出。由此我们证明，可选择 $\tilde{S}$ 与 $S$ 使得 $\|\tilde{S}-S\|=\mathcal{O}(\|H\|)$。即便 $A$ 具有重辛特征值，我们的结果仍成立。这推广了 Idel、Gaona 与 Wolf [$\textit{Linear Algebra Appl., 525:45-58, 2017}$] 针对非重辛特征值的辛矩阵稳定性结果。