随机矩阵模型的几何与可积方面

本论文研究随机矩阵模型相关的几何与可积方面。其目的是提供随机矩阵理论的各种应用，从代数几何到可积系统的偏微分方程。这些应用的多样性表明了矩阵模型在数学上的重要性。首先，论文将重点研究在奇异点附近两个特征值密度区间合并的情况。具体来说，我们将展示为什么这个特殊极限会从可积系统理论的Painlevé II 层次中产生普适方程。然后，遵循Mehta 为计算配分函数而引入的（双）正交多项式方法，我们将找到与矩阵模型相关的Riemann-Hilbert 问题和等单值问题，从而与Jimbo、Miwa 和Ueno 的理论建立联系。特别地，我们将描述厄米二矩阵模型如何提供Jimbo-Miwa-Ueno 理论的一个退化情形，并在此背景下对其进行推广。此外，环路方程方法及其谱曲线和拓扑展开的核心概念，将引出Eynard 和Orantin 最近提出的代数几何辛不变量。最后一点将被推广到非厄米矩阵模型（任意β）的情形，为“量子代数几何”以及将辛不变量推广到“量子曲线”铺平道路。最后，这一框架将被应用于拓扑弦理论背景下的组合学，通过显式计算一个枚举环面Calabi-Yau 三流形的Gromov-Witten 不变量的厄米随机矩阵模型来实现。