C^n 子集间的辛 Banach-Mazur 距离

遵循 Ostrover 与 Polterovich 的提议，我们引入并研究了 $\mathbb{C}^n$ 及其他开 Liouville 域的某些开子集上的“粗”与“细”两种辛 Banach-Mazur 距离版本。粗版本宣称两个此类域彼此接近，若每个域都容许一个 Liouville 嵌入到另一个的轻微膨胀中；细版本类似于 Stojisavljević 与 Zhang 近期研究的曲面余切丛子集上的距离，对这类嵌入的像施加了受经典凸体 Banach-Mazur 距离定义启发的额外要求。我们的第一个主要结果是粗距离与细距离彼此迥异：存在序列粗收敛到椭球，但相对于细距离发散至无穷。另一个主要结果是，相对于细距离，$\mathbb{C}^n$ 中星型域的空间容许对每个有限维 $D$ 的 $\mathbb{R}^D$ 的拟等距嵌入。我们的构造源于一种通用方法：构造边界的 Reeb 动力学由给定 $2n$ 维 Liouville 域上某些自治哈密顿流决定的 $(2n+2)$ 维 Liouville 域。我们主要结果背后的界是使用过滤等变辛同调、经由与 Gutt 先前联合工作中的方法证明的。