相对增长率与接触 Banach-Mazur 距离

本文在接触几何框架下定义了一种 Banach-Mazur 距离的非线性版本，称为接触 Banach-Mazur 距离，记为 $d_{\rm CBM}$。具体而言，我们考虑以下两种设定：其一在接触流形 $W \times S^1$ 上，其中 $W$ 为 Liouville 流形；其二在闭的 Liouville 可填充接触流形 $M$ 上。$d_{\rm CBM}$ 的输入在两种情形下有所不同：前者的输入为 $W \times S^1$ 的（接触）星型域，后者的输入为 $M$ 的接触 1-形式。特别地，前者情形中定义的接触 Banach-Mazur 距离 $d_{\rm CBM}$ 受相对增长率概念的启发，该概念最初由 Eliashberg 与 Polterovich 定义并研究。此外，我们探究了 $d_{\rm CBM}$ 与接触几何和辛几何中各类数值度量（例如接触形状不变量、（粗）辛 Banach-Mazur 距离）的关系。进而，我们获得了若干关于 $d_{\rm CBM}$ 的大尺度几何性质。最后，我们提出了对模层导出范畴中元素（在特定拓扑空间上）的定量比较，这基于层的奇支集的若干重要性质。