斯彭斯六个标准差定理的复数类比与复 Banach-Mazur 距离

我们研究斯彭斯六个标准差定理的复数类比。具体而言，我们提出以下猜想：对于任意维数 $n \geq 2$，给定满足 $\|a_i\|_{\infty} \leq 1$ 的向量 $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{C}^n$，存在一个所有坐标模为 1 的向量 $x \in \mathbb{C}^n$，使得 $|\langle x, a_i \rangle| \leq \sqrt{n}$ 对每个 $i=1, \ldots, n$ 成立。该下界是尖锐的，正如来自任何复数 $n \times n$ 哈达门矩阵的行向量所示。此外，如果该猜想在维数 $n$ 中成立，则 complex $\ell_1^n$ 与 $\ell_{\infty}^n$ 空间之间的 Banach--Mazur 距离等于 $\sqrt{n}$。我们证明了 $n=2,3$ 的猜想，从而确定 $d_{BM}(\ell_1^n, \ell_{\infty}^n) = \sqrt{n}$ 对于这些维度也成立。此外，我们提出关于复数 $\ell_p^n$ 空间之间 Banach--Mazur 距离的猜想，并验证了 $n=2$ 的情况。这导致了对复数 $\ell_p^2$ 空间之间所有可能 Banach--Mazur 距离的完全确定。