核范数中降维的不可能性

令 $\mathsf{S}_1$（Schatten--von Neumann 迹类）表示所有紧线性算子 $T:\ell_2\to \ell_2$ 构成的 Banach 空间，其核范数 $\|T\|_{\mathsf{S}_1}=\sum_{j=1}^\infty\sigma_j(T)$ 有限，其中 $\{\sigma_j(T)\}_{j=1}^\infty$ 是 $T$ 的奇异值。我们证明，对于任意大的 $n\in \mathbb{N}$，存在一个子集 $\mathcal{C}\subseteq \mathsf{S}_1$ 且 $|\mathcal{C}|=n$，该子集无法以 $O(1)$ 的双 Lipschitz 畸变嵌入到 $\mathsf{S}_1$ 的任何 $n^{o(1)}$ 维线性子空间中。$\mathcal{C}$ 甚至不是 $\mathsf{S}_1$ 的任何 $n^{o(1)}$ 维线性子空间的任何子集的 $O(1)$-Lipschitz 商。因此，$\mathsf{S}_1$ 不具备 Johnson 和 Lindenstrauss (1984) 式的降维结果，这补充了 Harrow, Montanaro 和 Short (2011) 关于在嵌入到低维为量子通道假设下量子降维局限性的工作。此前，通过 Brinkman 和 Charikar (2003) 的工作，已知将 $\mathsf{S}_1$ 替换为绝对可和序列的 Banach 空间 $\ell_1$ 时存在此类结论。事实上，上述集合 $\mathcal{C}$ 可以取为 Brinkman 和 Charikar 所考虑的同一集合，视为 $\mathsf{S}_1$ 中对角矩阵的集合。挑战在于证明 $\mathcal{C}$ 无法在 $\mathsf{S}_1$ 的任意低维子空间中忠实实现，而 Brinkman 和 Charikar 仅针对由对角算子组成的 $\mathsf{S}_1$ 子空间（即 $\ell_1$ 的子空间）获得了此类断言。我们通过证明 $\mathsf{S}_1$ 的任何有限维线性子空间 $X$ 的 Markov 2-凸性常数至多为 $\sqrt{\log \mathrm{dim}(X)}$ 的通用常数倍来确立这一结论。