从 ${\cal L}_1$ 空间出发的满射的核及其在 Sidon 集上的应用

若 $Q$ 是从 $L^1(\mu)$（$\mu$ 为 $\sigma$-有限）到包含 $c_0$ 的 Banach 空间的满射，则 (*) $\ker Q$ 在其第二对偶中不补。若 $Q$ 是从 ${\cal L}_1$-空间到一致包含 $\ell_n^\infty$（$n=1,2,\dots$）的 Banach 空间的满射，则 (**) 存在从 $\ker Q$ 到 Hilbert 空间的有界线性算子，它不是 2-绝对可和的。设 $S$ 是紧交换群 $G$ 的对偶群 $\Gamma$ 中的无限 Sidon 集。则 $L^1_{\tilde{S}}(G)=\{f\in L^1(G): \hat{f}(\gamma)=0\ \text{对}\ \gamma\in S\}$ 满足 (*) 和 (**)，因此 $L^1_{\tilde{S}}(G)$ 不是 ${\cal L}_1$-空间，也不同构于 Banach 格。