从 $\ell_p^3$ 到 $\ell_\infty^3$ 的Banach-Mazur距离

当 $X$ 取遍所有 $n$ 维实Banach空间时，$d_{BM}^M(X,\ell_\infty^n)$ 的Banach-Mazur距离最大值难以计算。事实上，对所有 $p\in [1,\infty]$ 求 $d_{BM}^M(\ell_p^n,\ell_\infty^n)$ 的最大值也非易事。我们证明 $d_{BM}^M(\ell_p^3,\ell_\infty^3)\leq 9/5,~\forall p\in[1,\infty]$。作为一个应用，得到了如下与Banach空间中的Borsuk划分问题相关的结果：$\ell_p^3$ 中任何直径为 $1$ 的子集 $A$ 都可表示为 $A$ 的 $8$ 个子集之并，这些子集的直径至多为 $0.9$。