关于 Banach-Mazur 紧集的度量熵

我们研究了所有 $n$ 维 Banach 空间构成的度量空间 $B_n$（即所谓的 Banach-Mazur 紧集）的度量熵，该空间配备了 Banach-Mazur（乘法）“距离”$d$。我们关注的是与维度无关的估计，或是当维度趋于 $\infty$ 时的渐近估计。例如，我们证明如果 $N({B_n},d, 1+\varepsilon)$ 是覆盖 $B_n$ 所需的“半径”为 $1+\varepsilon$ 的最少“球”数，则对于任意 $\varepsilon>0$，有 $$0<\liminf_{n\to \infty}n^{-1} \log\log N(B_n,d,1+\varepsilon)\le \limsup_{n\to \infty}n^{-1} \log\log N(B_n,d,1+\varepsilon)<\infty.$$ 我们还证明了关于配备有自然关联于具有算子条目的 $N\times N$ 矩阵的距离 $d_N$ 的 $n$ 维算子空间集合的度量熵的类似结果。在该情形下 $N$ 是任意的，但我们的估计独立于 $N$ 有效。在 Banach 空间情形（即 $N=1$）中，上述上界是众所周知的常识，而下界至少部分已知（但显然尚未见诸印刷）。虽然我们在两种情形下遵循相同的方法，但矩阵情形需要更精细的工具，即基于我们先前工作的关于某些被称为“量子扩张器”的 $N\times N$ 酉矩阵 $n$ 元组的估计。