Banach 空间中椭圆体的度量熵：技术与精确渐近

我们发展了计算 Banach 空间中椭圆体度量熵的新技术——这些椭圆体的半轴呈多项衰减。除了导致统一且全面的框架之外，这些工具还带来了诸多新结果，以及对经典结果的大幅改进和推广。具体而言，我们描述了 $p$ 椭圆体相对于 $q$ 范数度量熵 Leading 项中的常数的特征，对任意 $p,q \in [1,\infty]$ 均适用，此前仅在 $p=q=2$ 时已知。此外，对于 $p=q=2$，我们在经典结果的基础上，通过确定渐近展开的第二阶项实现了改进。对于 $p=q=\infty$，我们获得了完整的（而非渐近的）度量熵特征描述，并显式构造了最优覆盖。鉴于目前的了解，本文是对无限维体的度量熵首次获得精确特征描述。我们泛化结果用于函数类，可改进 Sobolev 空间单位球度量熵的渐近展开，并确定 Besov 空间单位球度量熵相对于函数类中函数域的依赖性。锐利的函数类度量熵结果在机器学习中具有应用价值，例如即可用于指定深度神经网络在这些函数类上进行函数逼近、非参数回归和分类所需的最小大小。