一个 2+1 维 sine-Gordon 系统的对称性与精确解

我们研究了 Konopelchenko 与 Rogers 的 $2+1$ 维 sine-Gordon 系统的经典与非经典约化，该系统是 sine-Gordon 方程的强推广。作为非经典约化得到的一族解涉及一个广义的、实的、抽运 Maxwell-Bloch 系统的解之解耦和。这意味着存在均以解耦和形式出现的解族，可用第二、第三和第五类 Painlevé 超越函数以及 sine-Gordon 方程表示。事实上，我们找到了此类解的层级，并给出了连接各层级成员的显式变换。通过将系统已知的 Bäcklund 变换应用于所找到的新解，我们得到了进一步的精确解族，其中包括一些表示为具任意系数的 Bessel 函数之积的和的辐角与模的解。最后，我们证明了 sine-Gordon 系统具有 Painlevé 性质，这需要对通常的检验进行修改，并推导了广义的、实的、抽运 Maxwell-Bloch 系统的非等谱 Lax 对。