高维 Sine-Gordon 方程：对可积性的新审视

Sine-Gordon 方程在 (1+1) 维 Minkowski 空间和 2 维 Euclidean 空间中是可积的。在每种情况下，它都有一个 Lax 对，且 Hirota 算法能生成所有 $N \ge 1$ 的 $N$ 孤子解。(1+2) 维方程未通过已知的可积性检验，也没有 Lax 对。尽管如此，Hirota 算法仍能为该方程生成所有 $N \ge 1$ 的 $N$ 孤子解。每个多孤子解均以恒定速度 $v$ 刚性传播。这些解分为两个不相连的子空间：$v \ge c =1$ 的解和 $v < c$ 的解。每个子空间都通过一个可逆变换（旋转加伸缩）与二维可积 Sine-Gordon 方程的孤子解空间相连。超光速解与 (1+1) 维 Minkowski 空间中的解相连。亚光速解则通过此变换以及 Lorentz 变换与 2 维 Euclidean 空间中的解相连。(1+3) 维 Minkowski 空间中的 Sine-Gordon 方程拥有更丰富的解类。其亚光速解与 2 维 Euclidean 空间中可积方程的解相连。然而，其超光速解中仅有一个子集与 (1+1) 维 Minkowski 空间中可积方程的解相连。