带边曲面:其均匀化、拉普拉斯行列式与等谱性
摘要
设 \Sigma 为类型 (g, n)、n > 0 的紧曲面,即从亏格 g 的闭曲面移除 n 个不交圆盘所得。假设 \chi(\Sigma)<0,我们证明在 \Sigma 上,具有相同的 Dirichlet 边界条件拉普拉斯谱的平坦度量集合在 C^\infty 拓扑中是紧的。该等谱紧性推广了 Osgood、Phillips 与 Sarnak \cite{OPS3} 关于类型 (0,n) 曲面的结果,其例子包含有界平面域。我们的主要工具如下。我们首先证明拉普拉斯行列式是 \Sigma 上测地边界双曲度量模空间上的一个真函数。其次,我们证明此类度量的空间与(在 \Sigma 上)具有常曲率边界的平坦度量空间同胚(于 C^\infty-拓扑中)。由此,我们接下来将平坦度量的复杂退化归约为更简单且熟知的双曲度量退化,并证明在固定面积与常测地曲率边界下,\Sigma 上平坦度量的拉普拉斯行列式在相应模空间上给出一个真函数。这是有趣的,因为 Khuri \cite{Kh} 证明了若固定边界长度(而非面积),当 \Sigma 为类型 (g, n)、g>0 时行列式不是真函数;而 Osgood、Phillips 与 Sarnak \cite{OPS3} 证明了当 g=0 时的真性。
引用
@article{arxiv.math/0609085,
title = {Surfaces with boundary: their uniformizations, determinants of Laplacians, and isospectrality},
author = {Young-Heon Kim},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0609085},
year = {2007}
}
备注
Further Revised. A technical error is corrected; the sections devoted to the proof of the insertion lemma and the separation of variables method are completely rewritten. (Sections 4, 5, and 6 in this revised version.) A lot of changes, corrections, and improvements are made throughout the paper. No mathematical change in the main theorems listed in the introduction