Shirshov 高度定理中的次指数估计

1993 年，E. I. Zelmanov 在《Dniester Notebook》中提出了以下问题：“假设 $F_{2, m}$ 是一个由两个生成元生成的满足恒等式 $x^m=0$ 的结合环。$F_{2, m}$ 的幂零度是否具有指数增长？”我们证明了满足恒等式 $x^d=0$ 的 $l$ 生成结合代数的幂零度小于 $\Psi(d,d,l)$，其中 $\Psi(n,d,l)=2^{18} l (nd)^{3 \log_3 (nd)+13}d^2$。通过这一结果，我们对 E. I. Zelmanov 的问题给出了确切的回答。这是基于词组合学的一个事实的推论。设 $l, n$ 和 $d>n$ 为正整数。那么，所有长度大于 $\Psi(n,d,l)$ 的基数为 $l$ 的字母表上的词，要么是 $n$-可分的，要么包含子词的 $d$ 次幂；其中，如果一个词 $W$ 可以表示为 $W=W_0 W_1...W_n$ 且满足 $W_1 >' W_2>'...>'W_n$，则称该词 $W$ 为 $n$-可分的。此处符号 $>'$ 表示字典序。A. I. Shirshov 证明了基数为 $l$ 的字母表上非 $n$-可分词集在由所有次数 $<n$ 的词组成的集合 $Y$ 上具有有界高度 $h$。原始的 Shirshov 估计仅是递归的，A.G.Kolotov 于 1982 年获得了双重指数估计，而 A.Ya.Belov 于 1993 年获得了指数估计。我们证明了 $h<\Phi(n,l)$，其中 $\Phi(n,l) = 2^{87} n^{12 \log_3 n + 48} l$。我们的证明使用了 Latyshev 关于应用 Dilworth 定理的思想。