与 Shirshov 高度定理相关的估计（博士论文）

1993年，E. I. Zelmanov 在 Dniester Notebook 中提出以下问题：“假设 $F_{2,m}$ 是一个具有恒等式 $x^m=0$ 的 $2$-生成结合环。是否 $F_{2,m}$ 的幂零度具有指数增长？”我们证明具有恒等式 $x^d=0$ 的 $l$-生成结合代数的幂零度小于 $\Psi(d,d,l)$，其中 $\Phi(n,d,l)=l(nd)^{C\log(nd)}$ 且 $C$ 为常数。我们通过该结果给出了对 E. I. Zelmanov 问题的决定性回答。这是基于词的组合学的一个事实的推论。令 $l$、$n$ 和 $d\ge n$ 为正整数。则字母表基数为 $l$ 上长度大于 $\Psi(n,d,l)$ 的所有词要么是 $n$-分拆的，要么包含子词的 $d$ 次幂，其中词 $W$ 是 $n$-分拆的，如果它可表示为如下形式 $W=W_0W_1\dots W_n$ 使得 $W_n\succ W_{n-1}\succ\cdots\succ W_1$。符号 $\succ$ 此处表示字典序。A. I. Shirshov 证明了基数为 $l$ 的字母表上非 $n$-分拆词组成的集合在由所有次数 $<n$ 的词构成的集合 $Y$ 上具有有界高度 $h$。Shirshov 原始的估计仅是递归的，1982年 A. G. Kolotov 得到了双指数，1993年 A. Ya. Belov 得到了指数估计。我们证明 $h<\Phi(n,l)$，其中 $\Phi(n,l)=n^{C\log n} l$ 且 $C$ 为常数。我们的证明使用了 Latyshev 关于 Dilworth 定理应用的想法。