Shirshov 高度定理中的估计

E. I. Zelmanov 于 1993 年在《Dniester Notebook》中提出了如下问题：“假设 $F_{2, m}$ 是一个由两个生成元生成且满足恒等式 $x^m=0$ 的结合环，那么 $F_{2, m}$ 的幂零次数是否呈指数增长？”我们证明了满足恒等式 $x^d=0$ 的 $l$ 生成结合代数的幂零次数小于 $\Psi(d,d,l)$，其中 $\Psi(n,d,l)=l (nd)^{C \log (nd)}$，$C$ 为常数。通过这一结果，我们对 E. I. Zelmanov 的问题给出了确切的回答。这是基于词组合学的一个事实的推论。设 $l, n$ 和 $d>n$ 为正整数。那么，所有长度大于 $\Psi(n,d,l)$ 的、由基数为 $l$ 的字母表构成的词，要么是 $n$-可分的，要么包含子词的 $d$ 次幂；其中，若词 $W$ 可表示为 $W=W_0 W_1\dots W_n$ 且满足 $W_n \prec W_{n-1}\prec\cdots\prec W_1$，则称 $W$ 为 $n$-可分的。此处符号 $\prec$ 表示字典序。A. I. Shirshov 证明了由基数为 $l$ 的字母表构成的非 $n$-可分词集，在由所有次数 $<n$ 的词组成的集合 $Y$ 上具有有界高度 $h$。Shirshov 原始的估计仅是递归的，A. G. Kolotov 于 1982 年得到了双重指数估计，而 A. Ya. Belov 于 1993 年得到了指数估计。我们证明了 $h<Phi(n,l)$，其中 $Phi(n,l) = n^{C \log n} l$，$C$ 为常数。我们的证明利用了 Latyshev 关于应用 Dilworth 定理的思想。