Shirshov 高度定理中的次指数估计

1993 年，E. I. Zelmanov 在《德涅斯特笔记本》中提出了以下问题：“假设 $F_{2, m}$ 是一个具有恒等式 $x^m=0$ 的 2-生成结合环。$F_{2, m}$ 的幂零次数是否具有指数增长？”我们证明，具有恒等式 $x^d=0$ 的 l-生成结合代数的幂零次数小于 $\Psi(d,d,l)$，其中 $\Psi(n,d,l)=2^{18} l (nd)^{3 \log_3 (nd)+13}d^2$。我们通过这一结果给出了 E. I. Zelmanov 问题的最终答案。这是基于词组合学的一个事实的推论。设 $l$、$n$ 和 $d>n$ 为正整数。那么，所有长度大于 $\Psi(n,d,l)$ 的基数为 $l$ 的字母表上的词要么是 n-可分的，要么包含子词的 d 次幂，其中词 $W$ 是 n-可分的，如果它可以表示为以下形式 $W=W_0 W_1...W_n$，使得 $W_1 >' W_2>'...>'W_n$。这里符号 $>'$ 表示字典序。A. I. Shirshov 证明了基数为 $l$ 的字母表上的非 n-可分词的集合在由所有次数 $<n$ 的词构成的集合 $Y$ 上具有有界高度 $h$。原始的 Shirshov 估计只是递归的，1982 年 A.G.Kolotov 得到了双指数估计，1993 年 A.Ya.Belov 得到了指数估计。我们证明 $h<\Phi(n,l)$，其中 $\Phi(n,l) = 2^{87} n^{12 \log_3 n + 48} l$。我们的证明使用了 Latyshev 应用 Dilworth 定理的思想。