具有可测核的 McKean-Vlasov SDE 密度的光滑性

考虑 McKean-Vlasov SDE $$dX_t=\langle b(X_t-\cdot),\mu_t\rangle dt+dW_t,\quad \mu_t=\operatorname{Law}(X_t),$$ 其中 $W$ 是 $n$ 维布朗运动且 $b:\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^d$ 是可测函数。首先假设 $b\in L^\infty$，我们证明 $X_t$ 的分布 $\mu_t$ 关于 Lebesgue 测度有密度 $p_t$，其连续可微且梯度对每个 $\gamma\in(0,1)$ 是 $\gamma$-Hölder 连续的。进一步假设 $b\in \mathcal{C}_b^1$，我们证明密度 $p_t$ 是无穷可微的。在噪声正则化视角下，这表明在相同系数正则性假设下，McKean-Vlasov SDE 往往比无密度依赖的 SDE 具有更光滑的密度函数。我们针对满足 Krylov 可积性条件的奇异相互作用核、分布核 $b\in B_{\infty,\infty}^\alpha$（$\alpha\in(-1,0)$）以及由 $\alpha$-稳定噪声（$\alpha\in(1,2)$）驱动的过程观察到类似现象。