受退化稳定型噪声驱动的随机微分方程的光滑密度

利用 Bismut 的 Malliavin 微积分方法，我们为受退化稳定型噪声驱动的随机微分方程 (SDE) 引入了一种简化的 Malliavin 矩阵 ([11])。对于由 Wiener 噪声驱动的退化 SDE，可以推导出一类 Norris 型引理并\emph{迭代}使用它来证明密度函数的光滑性。遗憾的是，Norris 型引理很难迭代应用于具有稳定型噪声的 SDE。在本文中，我们推导了一个简单的不等式作为替代，并用它表明两类具有稳定型噪声的退化 SDE 拥有光滑密度函数。第一类是 Priola 和 Zabczyk ([13]) 研究的线性 SDE，在某些附加假设下，我们可以迭代使用该不等式以获得密度的光滑性。第二类是具有稳定型噪声的一般 SDE，我们仅能将该不等式应用\emph{一}次，从而得出若\emph{一}阶 Lie 括号张成$\mathbb{R}^d$，则该 SDE 具有光滑密度。本文的关键步骤是估计简化 Malliavin 矩阵的最小特征值，这仅使用了泊松过程的一些基本事实和本科水平的常微分方程知识。