临界 gKdV 方程极小质量爆破解的精确渐近性

设 $S$ 为 Martel、Merle 和 Rapha\"el 在 arXiv:1204.4624 中构造的临界广义 KdV 方程的极小质量爆破解。我们证明了 $S$ 在爆破时间附近的关于时间和空间的精确渐近性。设 $Q$ 为 (gKdV) 的唯一基态，满足 $Q"+Q^5=Q$。首先，我们证明存在普适的光滑轮廓 $Q_k\in\mathcal{S}(\mathbb{R})$（其中 $Q_0=Q$）以及一个常数 $c_0\in\mathbb{R}$，使得在将爆破时间固定为 $t=0$ 并选取适当的缩放与平移参数后，$S$ 对任意 $m\geqslant 0$ 满足 $$\partial_x^m S(t) - \sum_{k=0}^{[m/2]} \frac 1{t^{\frac 12+m-2k}} Q_k^{(m-k)}\left(\frac{\cdot+ \frac1t}{t}+c_0\right)\to 0\quad \mbox{在}\ L^2 \ \mbox{中当}\ t\downarrow 0.$$ 其次，我们证明对于 $0<t\ll 1$、$x\leqslant -\frac 1t -1$，有 $$S(t,x) \sim - \frac 12 \|Q\|_{L^1} |x|^{-3/2},$$ 以及关于 $S(t)$ 任意阶导数的相应估计。我们还证明了 $\int_{\mathbb{R}} S(t,x)\,dx=0$。