关于 $L^2$-临界 gKdV 方程爆破时间后的延拓性质

本文考虑 $L^2$-临界 gKdV 方程 $\partial_tu+(u_{xx}+u^5)_x=0$ 的一个爆破解 $u(t)$，其具有有限爆破时间 $T<+\infty$。我们期望在爆破时间之后构造 $u(t)$ 的一个自然延拓。为此，我们考虑具有相同初始数据的饱和 $L^2$-临界 gKdV 方程 $\partial_tu+(u_{xx}+u^5-\gamma u|u|^{q-1})_x=0$ 的解 $u_{\gamma}(t)$，其中 $\gamma>0$ 且 $q>5$。标准论证表明 $u_{\gamma}(t)$ 总是时间全局存在的，并且对于所有 $t<T$，当 $\gamma\rightarrow0$ 时 $u_{\gamma}(t)$ 在 $H^1$ 中收敛于 $u(t)$。我们在本文中证明，对于所有 $t\geq T$，当 $\gamma\rightarrow0$ 时，$u_{\gamma}(t)$ 在某种意义下收敛于某个 $v(t)$。这个极限函数 $v(t)$ 是未受扰动的 $L^2$-临界 gKdV 方程的弱解，因此可以看作是 $u(t)$ 在爆破时间之后的自然延拓。