具有饱和微扰的 $L^2$ 临界广义 KdV 方程的渐近动力学

在本文中，我们考虑具有饱和微扰的 $L^2$ 临界 gKdV 方程：$\partial_t u+(u_{xx}+u^5-\gamma u|u|^{q-1})_x=0$，其中 $q>5$ 且 $0<\gamma\ll1$。对于任意初始数据 $u_0\in H^1$，相应的解始终是全局的并且在 $H^1$ 中有界。该方程有一族孤立子，我们的目标是对孤立子附近的动力学进行分类。结合适当的衰减假设，只有三种可能性：(i) 当 $\gamma\rightarrow0$ 时，解渐近收敛到一个 $H^1$ 范数大小为 $\gamma^{-2/(q-1)}$ 的孤立波；(ii) 解始终处于调制孤立波族的小邻域内，但在 $+\infty$ 处衰减；(iii) 解离开调制孤立波族的任何小邻域。这推广了 Martel、Merle 和 Rapha"el 对无微扰 $L^2$ 临界 gKdV（对应于 $\gamma=0$）基态附近刚性动力学的分类。然而，衰减行为 (ii) 是全新的，且饱和方程的动力学不能被视为无微扰方程 $L^2$ 临界动力学的微扰。这是在此背景下饱和方程基态附近动力学分类的第一个例子。预期有类似分类结果的 $L^2$ 临界 NLS 和 $L^2$ 超临界 gKdV 情形则完全悬而未决。