广义 Korteweg-de Vries 方程强相互作用不稳定双孤子的动力学

我们考虑广义 Korteweg-de Vries 方程 $\partial_t u = -\partial_x(\partial_x^2 u + f(u))$，其中 $f(u)$ 为 $C^3$ 类的奇函数。在关于 $f$ 的某些假设下，该方程容许\emph{孤立波}，即形式为 $u(t, x) = Q_v(x - vt - x_0)$ 的解，其中 $v$ 在某个范围 $(0, v_*)$ 内。我们研究相同极限速度下的纯双孤子，亦即满足如下条件的全局解 $u(t)$：\begin{equation} \label{eq:abstract} \tag{$\ast$} \lim_{t\to\infty}\|u(t) - (Q_v(\cdot - x_1(t)) \pm Q_v(\cdot - x_2(t)))\|_{H^1} = 0, \qquad \text{with}\quad\lim_{t \to \infty}x_2(t) - x_1(t) = \infty. \end{equation} 已知对 $f(u) = |u|^{p-1}u$ 且 $p \in \mathbb{Z} \setminus \{5\}$、$p > 2$ 存在此类解。在 $Q_v$ 线性不稳定（对幂非线性对应于 $p > 5$）的假设下，我们描述了任意满足 \eqref{eq:abstract} 的解的动力学行为。我们证明此时 \eqref{eq:abstract} 中的符号必为“$+$”，对应于吸引相互作用。我们还证明孤子间距离 $x_2(t) - x_1(t)$ 等于 $\frac{2}{\sqrt v}\log(\kappa t) + o(1)$，其中某 $\kappa = \kappa(v) > 0$。