gKdV方程中具有对数相对距离的强相互作用多孤子

我们考虑如下类型的(gKdV)方程 $$\partial_t u + \partial_x (\partial_x^2 u + |u|^{p-1}u) = 0, \quad p\mbox{ 为整数},\quad t,x \in \mathbb{R}$$ 具有质量次临界($2< p<5$)和质量超临界非线性($p> 5$)。我们证明了具有对数相对距离的2-孤波解的存在性，即解 $u(t)$ 满足 $$\left\|u(t)- \bigg( Q (\cdot - t - \log (ct)) + \sigma Q (\cdot - t + \log (ct))\bigg)\right\|_{H^1}\to 0 \ \ \mbox{当} \ \ t\to +\infty,$$ 其中 $c=c(p)> 0$ 是一个固定常数，在次临界情形 $\sigma = -1$，在超临界情形 $\sigma = 1$。对于可积情形($p=3$)，这种解通过可积性理论已知。该区域对应于强吸引相互作用。对于次临界 $p$，已知异号行波相互吸引。对于超临界 $p$，我们从计算中推导出同号行波相互吸引。