R^5 中能量临界热方程的长时间动力学

我们研究 $R^5$ 中能量临界热方程全局解的长时间行为 \begin{equation*} \begin{cases} \pp_t u=\Delta u+|u|^{\frac{4}{3}} u ~&\mbox{ in }~ R^5 \times (t_0,\infty), u(\cdot,t_0)=u_0~&\mbox{ in }~ R^5. \end{cases} \end{equation*} 对于充分大的 $t_0$,我们证明了一类初值 $u_0(x)\sim |x|^{-\gamma}$(当 $|x|\rightarrow \infty$ 且 $\gamma>\frac32$)的正解的存在性,使得全局解渐近地满足 \begin{equation*} \| u(\cdot,t) \|_{L^\infty (\R^5)} \sim \begin{cases} t^{-\frac{3(2-\gamma)}{2}} ~&\mbox{ if }~ \frac32<\gamma<2 (\ln t)^{-3} ~&\mbox{ if }~ \gamma=2 1 ~&\mbox{ if }~ \gamma>2 \end{cases} \mbox{ \ for \ } t >t_0, \end{equation*} 其衰减慢于自相似时间衰减 $t^{-\frac{3}{4}}$。这些衰减率受 Fila-King \cite[Conjecture 1.1]{FilaKing12} 的启发。