捕食者-猎物模型跨扩散 Cauchy 问题的长时间动力学

本文关注捕食者-猎物模型，其在 $N$ 维空间中描述（$N=1, 2, 3$），形式为\n\begin{align*}\left\{\begin{aligned} &\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u-\chi\nabla\cdot(u\nabla v),\\ &\frac{\partial v}{\partial t}=\Delta v+\xi\nabla\cdot(v\nabla u), \end{aligned}\right.\end{align*} 其中描述了捕食者和猎物的随机运动，以及捕食者追捕猎物与猎物试图逃避捕食者的空间动力学。证明该 Cauchy 问题的任意全局强解在任意 $1<p\le\infty$ 意义下收敛于零，也收敛于热核，收敛于任意 $1\le p\le\infty$ 意义下。特别地，其衰减率在 $N=2, 3$ 时与热方程在 $\mathbb R^N$ 中的衰减率一致，具有最佳性。显而易见，解的全局存在性是该模型分析中最具挑战性的话题。即便在一维情形下，仅在有界域中成功构造了全局弱解。尽管如此，为全面理解主要结果，我们附录了关于强解全局存在性和渐近行为的结论，尽管需对初始数据施加一定的小条件。