具有白噪声初值的标量守恒律

当初始剖面 $\rho(\cdot,0)$ 为随机时，形如 $\rho_t=H(\rho)_x$（其中 $H: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 为光滑凸函数）的标量守恒律的统计描述一直备受关注。当 $H(\rho)=\frac{\rho^2}{2}$（Burgers 方程）这一特殊情况在过去尤其受到广泛兴趣，并且现已针对多种随机初始条件得到理解。本文中我们解决了一个关于一类一般哈密顿量 $H$ 在任意时刻 $t>0$ 解剖面的猜想，并证明它是一个平稳的分段光滑 Feller 过程。在此过程中，我们研究了双侧线性布朗运动 $W$ 在任意具有超线性增长的严格凸函数 $\phi$ 下方的游程过程，并推导了随机变量 $\text{argmax}_{z \in \mathbb{R}} (W(z)-\phi(z))$ 的广义 Chernoff 分布。最后，当 $\rho(\cdot,0)$ 是由突变 L\'evy 过程导出的白噪声时，我们在 $H$ 的一些温和假设下证明了解的激波结构在任意固定时刻 $t>0$ 几乎必然离散。