激波聚集与伯格斯湍流的完全可积性

我们考虑具有凸通量和随机初始数据的标量守恒律。Hopf-Lax公式诱导了初始数据律的确定性演化。在最近的一篇文章中，我们在初始数据是谱负马尔可夫过程的假设下，推导了描述该律演化的动力学理论和Lax方程。这里我们证明：(i) Lax方程是哈密顿的，并描述了马尔可夫群上的最小作用量原理，该原理类似于$SO(N)$上的测地流；(ii) Lax方程是完全可积的，并通过算子的环路群分解线性化；(iii) 相关的零曲率方程可以通过逆散射求解。我们的结果对于Lax方程的$N$维近似是严格的，并给出了$N \to \infty$极限的公式。主要观察结果是，Lax方程是$N$波模型的马尔可夫变体的$N \to \infty$极限。这使我们能够引入可积系统理论中的多种方法。