随机初始条件与非光滑、非严格凸通量下守恒律的极小化方法

我们获得了由高斯随机过程（在某些情况下为离散化）描述的任意随机初始条件下守恒律的解。我们分析了在随机初始数据下，对于光滑通量函数 $H\left( p\right) =\left\vert p\right\vert ^{j}$（其中 $j\geq2$）时 Burgers 方程的推广。随后，我们考虑了一个分段线性、非光滑且非凸的通量函数，并配以一般的离散化高斯随机过程初始数据。通过将实数轴划分为有限个点，我们得到了该问题解的精确表达式。由此，我们还能求出在给定时间 $t$ 和空间坐标 $x$ 处解轮廓中激波密度的精确公式与近似公式。我们讨论了这些结果在特定情况下的简化，包括布朗运动和布朗桥，它们的逆协方差矩阵及相应的特征值谱具有一些特殊性质。我们计算了各种情况之间的转移概率，并考察了解 $w\left(x,t\right)$ 在 $x$ 和 $t$ 上的方差。我们还描述了如何通过在划分变得更精细时取连续统极限，来获得高斯随机过程非离散化版本的结果。