具有马尔可夫数据的标量守恒律的动力学描述

我们推导了一个动力学方程来描述解 $\rho$ 对标量守恒律 $\rho_t=H(x,t,\rho )_x$ 的统计结构，其中具有某些马尔可夫初始条件。当哈密顿函数在 $\rho$ 中凸且递增时，我们证明解 $\rho(x,t)$ 在固定 $t$（相应地 $x$）时是 $x$（相应地 $t$）上的马尔可夫过程。本文考虑了两类马尔可夫条件。第一类，初始数据由满足线性 PDE 的漂移项 $b$ 和随时间变化的满足动力学方程的跳跃密度 $f$ 刻画。第二类，初始数据是由参数 $y$ 表征的基本解的拼接，其中 $y$ 是一个马尔可夫跳跃过程，其跳跃密度 $g$ 满足动力学方程。当 $H$ 在 $\rho$ 中不递增时，只要线在 $(x,t)$ 平面中的斜率满足一个不等式，$\rho$ 在一条线上的限制就是同类型的马尔可夫过程。