标量粘性守恒律激波的$L^2$-压缩性

我们考虑一维空间中具有严格凸通量的标量粘性守恒律粘性激波在平移下的$L^2$-压缩性。对于作为二次 Burgers 通量小扰动的通量情况，我们证明了任何粘性激波都会在平移下诱导$L^2$压缩。也就是说，粘性守恒律的任何解与激波适当平移后的差值的$L^2$范数随时间不增加。此外，如果解的初值与激波之间的差值也在$L^1$中有界，则该差值的$L^2$范数以最优速率$t^{-1/4}$收敛。这两个结果均不涉及对初值或激波大小的任何小性条件。在这种二次 Burgers 通量小扰动的背景下，该结果改进了 Choi 和 Vasseur 在 [7] 中的结果。然而，我们证明了平移下的$L^2$-压缩性并非对所有凸通量都成立。我们构造了一个光滑严格凸通量，对于该通量，即使沿任何 Lipschitz 平移，$L^2$-压缩性也不再成立。