辫群在 $\mathbb{R}$ 上的作用与亏格为低的映射类群在 $S^1$ 上的作用的刚性

辫群 $B_n$ 通过保向同胚在 $\mathbb{R}$ 上的每一个非平凡作用，在相差一个 $\mathbb{R}$ 同胚共轭的意义下，都产生一个表示 $\rho : B_n \rightarrow \mathrm{H\widetilde{ome}o}_+(S^1)$，从而为 $B_n$ 的每个元素确定一个平移数。在本文稿中，我们提供了一个简单的刻画，说明 $B_n$ 在 $\mathbb{R}$ 上的哪些作用产生的平移数与由 $\mathbb{R}$ 上的标准 Nielsen-Thurston 作用产生的平移数一致。我们的方法是通过一种利用 $B_n$ 的左序空间、该空间中的孤立点以及 $B_n$ 的自然共轭作用的技术，证明关于 $B_n$ 左序的类似命题。我们利用这一结果将 Mann 和 Wolff 关于映射类群在 $S^1$ 上作用的近期刚性结果推广到具有标记点的低亏格曲面的情形。