平移作用的强遍历性、性质 (T) 与轨道等价刚性

我们研究了由平移作用 $\Gamma\curvearrowright G$ 产生的等价关系，这些作用与可数群到第二可数局部紧群的稠密嵌入 $\Gamma<G$ 相关联。假设 $G$ 是单连通的且作用 $\Gamma\curvearrowright G$ 是强遍历的，我们证明 $\Gamma\curvearrowright G$ 轨道等价于另一个此类平移作用 $\Lambda\curvearrowright H$，当且仅当存在一个同构 $\delta:G\rightarrow H$ 使得 $\delta(\Gamma)=\Lambda$。如果 $G$ 还是实代数群，则我们对 $\Gamma$ 在形如 $G/\Sigma$ 的齐性空间上的平移作用建立了类似的刚性结果，其中 $\Sigma<G$ 是离散子群或代数子群。我们还证明，如果 $G$ 是单连通的且作用 $\Gamma\curvearrowright G$ 具有性质 (T)，那么任何取值于可数群 $\Lambda$ 的上循环 $w:\Gamma\times G\rightarrow\Lambda$ 都同调于一个同态 $\delta:\Gamma\rightarrow\Lambda$。作为推论，我们得出作用 $\Gamma\curvearrowright G$ 是轨道等价超刚性的：任何与 $\Gamma\curvearrowright G$ 轨道等价的自由非奇异作用 $\Lambda\curvearrowright Y$，必然共轭于 $\Gamma\curvearrowright G$ 的诱导作用。