具有谱隙的 profinite 作用的轨道等价与 Borel 可约性刚性

我们研究了由可数群在其 profinite 完备化上的左平移作用产生的等价关系$\mathcal R(\Gamma\curvearrowright G)$。在假设作用$\Gamma\curvearrowright G$是自由的且具有谱隙的条件下，我们精确描述了$\mathcal R(\Gamma\curvearrowright G)$何时与另一个此类等价关系$\mathcal R(\Lambda\curvearrowright H)$轨道等价或 Borel 可约。作为推论，我们提供了$SL_2(\mathbb Z)$及其非阿分子群（例如$\mathbb F_n$，其中$2\leqslant n\leqslant\infty$）的自由遍历保概率测度 (p.m.p.) profinite 作用的显式不可数族，其轨道等价关系互不轨道等价且互不 Borel 可约。特别是，我们证明了如果$S$和$T$是不同的素数集合，则与作用$SL_2(\mathbb Z)\curvearrowright\prod_{p\in S}SL_2(\mathbb Z_p)$和$SL_2(\mathbb Z)\curvearrowright\prod_{p\in T}SL_2(\mathbb Z_p)$相关的轨道等价关系既不是轨道等价的也不是 Borel 可约的。这解决了 S. Thomas \cite{Th06}的一个猜想。其他应用包括对具体树状 p.m.p.等价关系的外自同构群的首次计算，以及轨道等价关系具有平凡基本群的$\mathbb F_{\infty}$自由遍历 p.m.p.作用的首个具体例子。