驯顺阿贝尔乘积群的作用

一个 Polish 群 $G$ 是驯顺的，如果对其任意连续作用，相应的轨道等价关系为 Borel 的。当 $G = \prod_n \Gamma_n$ 且 $\Gamma_n$ 为可数阿贝尔群时，Solecki（1995）给出了 $G$ 驯顺的刻画。Ding 与 Gao（2017）证明了对于这样的 $G$，轨道等价关系实际上必为潜在 $\mathbf{\Pi}^0_6$ 的，同时猜想最优界可为 $\mathbf{\Pi}^0_3$。我们证明了最优界为 $D(\mathbf{\Pi}^0_5)$，通过构造此类群 $G$ 的一个非潜在 $\mathbf{\Pi}^0_5$ 的作用，并说明如何修改 Ding 与 Gao 的分析以得到这一稍优的上界。利用 Hjorth、Kechris 与 Louvaeu（1998）的结果可知，这便是驯顺阿贝尔乘积群作用的潜在复杂性的最优界。我们的下界分析涉及在序列有限集的选择公理失效的集合论模型上的力迫。