论辫群中的循环操作

循环操作是一种特殊的共轭，可应用于 Artin 辫群中的元素，以缩短其长度。它是辫群中共轭问题常规解法的关键要素。Ko, Lee 等人在其关于辫密码学的开创性论文中，提出了“循环问题”作为辫群中可能对密码学有益的困难问题。在本文中，我们给出了该问题的多项式时间解，主要是通过证明循环是满射，并利用 Maffre 的结果表明循环下的原像可以快速计算。该结果同样适用于球型 Artin-Tits 群。另一方面，辫群中的共轭搜索问题通常通过使用辫子的左范式计算称为（左）超极限集的有限集合来解决。但同样可以使用右范式并计算右超极限集。共轭搜索问题的困难实例对应于具有大（左和右）超极限集的元素。人们可能会认为，即使某个元素具有大的左超极限集，它也可能具有小的右超极限集。我们证明了在刚性辫子这一重要特例中情况并非如此。更准确地说，我们证明了给定刚性辫子的左超极限集和右超极限集决定了同构的图，且箭头方向相反，该同构由迭代循环定义。我们猜想，对于辫群和球型 Artin-Tits 群中的每个元素（不一定为刚性），同样的结论也成立。