Burau表示的张量幂的Schur-Weyl对偶

Artin辫群$B_n$由$\sigma_1, \dots, \sigma_{n-1}$生成,满足关系$$\sigma_i \sigma_{i+1} \sigma_i = \sigma_{i+1} \sigma_i \sigma_{i+1}, \quad \sigma_i\sigma_j = \sigma_j \sigma_i \text{ if } |i-j|>1.$$对于满足$q_1q_2 \ne 0$的复参数$q_1,q_2$,群$B_n$作用在具有基$\mathbf{e}_1, \dots, \mathbf{e}_n$的向量空间$\mathbf{E} = \sum_i \mathbb{C} \mathbf{e}_i$上,作用方式为\begin{gather*} \sigma_i \cdot \mathbf{e}_i = (q_1+q_2)\mathbf{e}_i + q_1\mathbf{e}_{i+1}, \quad \sigma_i \cdot \mathbf{e}_{i+1} = -q_2\mathbf{e}_i, \\ \sigma_i \cdot \mathbf{e}_j = q_1 \mathbf{e}_j \text{ if } j \ne i,i+1. \end{gather*}该表示是Burau表示(的一个轻微推广)。若$q = -q_2/q_1$不是单位根,我们证明与$B_n$作用交换的$\mathbf{E}^{\otimes r}$的所有自同态代数由对称群$S_r$的位置置换作用和算子$p_1$生成,其中$p_1$由$$p_1(\mathbf{e}_{j_1} \otimes \mathbf{e}_{j_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{e}_{j_r}) = q^{j_1-1} \, \sum_{i=1}^n \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_{j_2} \otimes \cdots \otimes \mathbf{e}_{j_r} .$$给出。等价地,作为$(\mathbb{C} B_n, \mathcal{P}'_r([n]_q))$-双模,$\mathbf{E}^{\otimes r}$满足Schur--Weyl对偶,其中$\mathcal{P}'_r([n]_q)$是带参数$[n]_q = 1+q+\cdots + q^{n-1}$的$2r$节点分拆代数$\mathcal{P}_r([n]_q)$的某个子代数,同构于W. D. Munn、L. Solomon等人研究过的“车 monoid”的半群代数。