Artin 辫群 $B_n$ 的一个基本 $n$ 维表示及一个一般 Burau 表示

Artin 辫群的 Burau 表示一直是辫群非常重要的表示之一。部分原因在于它与 Alexander 多项式的联系，而 Alexander 多项式是纽结与链环最早且最有用的不变量之一。在本文中，我们表明使用一种简单直观的方法可以获得辫群的有趣表示，其中我们简单地分析辫子中 strands 的路径，并将上交叉、下交叉或无交叉编码为某些参数。更确切地说，在每个交叉处，例如 strand $i$ 跨过 strand $i+1$ 时，我们赋予上层的 strand 以 $\mathbf{t}$，赋予下层的 strand 以 $\mathbf{b}$。我们将参数 $\mathbf{t}$ 视为赋予 strand $i$ 相对于 $i+1$ 的“相对权重”，因此在矩阵表示中 $\mathbf{t}$ 位于位置 $i\ i+1$。类似地，参数 $\mathbf{b}$ 是赋予 strand $i+1$ 相对于 $i$ 的“相对权重”，因此在矩阵表示中 $\mathbf{b}$ 位于位置 $i+1\ i$。我们表明这种简单的“路径分析方法”引导我们得到一个有趣而简单的表示。接下来，我们表明遵循同样的直观方法，仅通过引入一个附加参数，我们就可以将该表示极大地改进为具有更小核的表示。这一更一般的表示包含了非约化 Burau 表示作为特例。我们的新“路径分析方法”的优势在于它应用了一种非常简单直观的方法，捕捉辫子中 strands 的基本相互作用。在此方法中，我们直观地跟踪辫子中的每条 strand，并随着它通过上交叉、下交叉或无交叉与其他 strands 相互作用而为其创建一段“历史”。这直接引导我们得到所需的表示。