Vust 定理与 B、C、D 型的高阶 Schur-Weyl 对偶

设 $G$ 为复线性代数群，$\mathfrak{g}=\Lie(G)$ 为其李代数，$e\in\mathfrak{g}$ 为幂零元。Vust 定理指出，在 $G=\GL(V)$ 的情形下，代数 $\mbox{End}_{G_e}(V^{\otimes d})$（其中 $G_e\subset G$ 为伴随作用下 $e$ 的稳定子群）由 $d$ 次对称群 $\mathfrak{S}_d$ 的自然作用的像以及线性映射 $\{1^{\otimes (i-1)}\otimes e\otimes1^{\otimes (d-i)}|i=1,\ldots,d\}$ 生成。本文中，我们将该定理推广到 $G=\O(V)$ 和 $\SP(V)$ 的情形，针对具有 $\overline{G\cdot e}$ 为正规的幂零元 $e$。作为应用，我们研究了文献 \cite{BK2} 意义下 B、C、D 型的高阶 Schur-Weyl 对偶，其建立了 $W$-代数与退化仿射辫代数之间的关系。