双李代数胚的 Weil 代数

给定双向量丛 $D\to M$，我们定义一个双分次“Weil 代数” $\mathcal{W}(D)$，它“实现”了超流形 $D[1,1]$ 上光滑函数的代数。我们详细描述了 $D$ 的 Weil 代数与通过对偶运算得到的双向量丛 $D',\ D''$ 的 Weil 代数之间的关系。特别地，我们证明 $D$ 上的双线性 Poisson 结构可等价地描述为 $\mathcal{W}(D)$ 上的 Gerstenhaber 括号、$\mathcal{W}(D')$ 上的垂直微分或 $\mathcal{W}(D'')$ 上的水平微分。我们还给出了刻画双李代数胚结构的 Voronov 结果的新证明。在 $D=TA$ 为李代数胚的切扩张的情形，我们发现 $\mathcal{W}(D)$ 即为 Mehta 与 Abad-Crainic 所定义的李代数胚的 Weil 代数。我们表明，李代数胚的形变复形、IM 形式与 IM 多重向量场理论，以及直至同伦的 2-项表示，均可依据我们的 Weil 代数得到自然解释。