关于 A 型仿射 Schur 代数

域 $K$ 上的仿射 Schur 代数 $\widetilde{S}(n,r)$(A 型)定义为 $A_{r-1}$ 型扩张仿射 Weyl 群作用在张量空间上的自同态代数。由仿射 Schur-Weyl 对偶性,当 $K$ 为复数域时,它同构于 $\mathcal{U}(\hat{\mathfrak{gl}}_{n})$ 在张量空间上作用的表示映射的像。我们证明 $\widetilde{S}(n,r)$ 还可等价于另外两种定义方式。即,它是半群代数 $K\widetilde{GL}_{n,a}$(定义于第 \ref{S:semigroups} 节)在张量空间上作用的表示映射的像,且等于与该半群相关的某形式余代数的“对偶”。通过这些途径,我们可以揭示不同 Schur 代数与仿射 Schur 代数之间的诸多关系,并重新证明仿射 Schur-Weyl 对偶性的一侧。