超形式达布-魏因斯坦定理与有限 W 超代数

设 $\vvv=\vvv_{\bar{0}}+\vvv_{\bar{1}}$ 是一个带有偶 $\mathbb{C}^{\times}$-作用的 $\mathbb{Z}_2$-分次（超）向量空间，且 $\chi \in \vvv_{\bar{0}}^{*}$ 为所诱导作用的不动点。本文将证明形式多项式代数 $\hat{A}=S[\vvv_{\bar{0}}]^{\wedge_{\chi}}\otimes \bigwedge(\vvv_{\bar{1}})$ 的等变达布-魏因斯坦（Daboux-Weinstein）定理。我们也给出等变达布-魏因斯坦定理的量子版本。设 $\ggg=\ggg_{\bar{0}}+\ggg_{\bar{1}}$ 为 I 型基本李超代数，且 $e \in \ggg_{\bar{0}}$ 为幂零元。我们将利用等变量子达布-魏因斯坦定理来实现有限 $W$ 超代数 $\mathcal{U}(\ggg,e)$。给出了有限 U(g,e) 与 U(g_{\bar{0}} ,e) 之间的间接关系。最后我们将利用该实现来研究 $\mathcal{U}(\ggg,e)$ 的有限维表示。