有限W代数的平凡一维表示的不变性

设$\mathfrak{g}$为$\mathbb{C}$上的单李代数，$G$为相应的单连通代数群。考虑幂零元$e\in \mathfrak{g}$、其在$\mathfrak{g}^*$中对应的元素$\chi=(e, \bullet)$，以及余伴随轨道$\mathbb{O}=G\chi$。我们关注有限$W$代数$\mathcal{W}=U(\mathfrak{g}, e)$中余维数为$1$的理想$J\subset \mathcal{W}$的集合$\mathfrak{J}\mathfrak{d}^1(\mathcal{W})$。分量群$\Gamma=Z_G(\chi)/Z_G^\circ(\chi)$在$\mathfrak{J}\mathfrak{d}^1(\mathcal{W})$上有自然作用。将$\mathfrak{J}\mathfrak{d}^1(\mathcal{W})$的$\Gamma$-稳定点集记为$\mathfrak{J}\mathfrak{d}^{1}(\mathcal{W})^{\Gamma}$。对于经典$\mathfrak{g}$，Premet与Topley证明了$\mathfrak{J}\mathfrak{d}^{1}(\mathcal{W})^{\Gamma}$同构于一个仿射空间。本文给出该事实的一个更简洁且更简短的证明。