3-流形中链环的代数 Markov 等价

令 $B_n$ 表示经典的 $n$ 股辫群，并令{\em 混合辫群} $B_{m,n}$ 为 $B_{m+n}$ 中由前 $m$ 股构成恒等辫的子群。令 $B_{m,\infty}=\cup_nB_{m,n}$。我们将描述 $B_{m,\infty}$ 上明确的代数变换，使得在这些变换下的等价类对链环补或闭的、连通的、有向 3-流形中的有向链环按同痕分类。这些变换依赖于在 $S^3$ 中表示该流形的一个固定链环。更确切地说，对链环补，变换为：经典 Markov 等价的两个熟知变换，加上由某些 loops $a_i$ 进行的{\em ‘扭曲’共轭}。这意味着左乘 ${a_i}^{-1}$ 并右乘 $a_i$ 的一个‘梳状’版本。对闭 3-流形，还有一组附加的{\it ‘梳状’带变换}，对应于沿手术链环的滑动变换。证明中的主要工具是使用{\it $L$--变换} \cite{LR}（添加盒内交叉）的一变换 Markov 定理。所得的代数分类是经典 Markov 定理（分类 $S^3$ 中按同痕的链环）的直接推广，并有可能导出强有力的新链环不变量，第一作者已在特例中对之作过探索。它也提供了一可控的同痕变换范围，有助于研究 3-流形的 skein 模。