鞠带图的抗阻性、奇数性与着色缺陷

设 $G$ 为一张无桥的三正则图。$G$的\textit{抗阻性}，记为 $r(G)$，是指从 $G$中移除最少多少条边即可实现三边着色。$G$的\textit{奇数性}，记为 $\omega(G)$，是指在 $G$的 2-factor 中奇数分支数目最小值。$G$的\textit{着色缺陷}（或简单称为 $G$的\textit{缺陷}），记为 $\mu_3(G)$，是指在 $G$中三个完美匹配中不包含的最少条边数。这三个参数被视为鞠带图不可着色性的度量方式，因为当且仅当 $G$可三边着色时，这三个参数中任一个等于零。已知 $r(G) \geq \omega(G)$ 且 $\mu_3(G) \geq \frac{3}{2}\omega(G)$ \cite{fiol,jinsteffen}。我们已证明，对于非平凡鞠带图，奇数性与抗阻性之比可任意大 \cite{allie1}。也已证明，对于非平凡鞠带图，缺陷与奇数性之比可任意大，尽管该结果仅针对奇数性为2的图进行了证明。在同一篇论文中，提出了对于给定抗阻 $r$ 或给定奇数性 $\omega$，是否存在具有任意大缺陷的非平凡鞠带图的问题。本文我们证明了一个更强的结论：对于任意正整数 $r \geq 2$，偶数 $\omega \geq r$，和 $d \geq \frac{3}{2}\omega$，存在一个非平凡鞠带图 $G$，满足 $r(G)=r$，$\omega(G)=\omega$，且 $\mu_3(G) \geq d$。