Snark 的周长、奇度与着色亏值

Steffen 于 2015 年引入的三次图着色亏值，是指任意三个完美匹配集合所未能覆盖的最小边数。由于三次图亏值为 $0$ 当且仅当它是 $3$-边可着色的，该不变量可度量三次图与 $3$-边可着色图相差多少。我们的目的是考察着色亏值与奇度之间的关系；奇度是三次图不可着色性被广泛研究的度量，定义为 $2$-因子中奇圈的最小个数。我们证明存在奇度为 $2$ 且着色亏值任意大的循环 $5$-边连通 snark（无 $3$-边着色三次图）。该结果通过构造奇度为 $2$ 且周长任意大的循环 $5$-边连通 snark 实现。我们的图是循环 $5$-边连通的这一事实，显著加强了 Jin 与 Steffen（2017）的类似结果，后者仅保证循环连通度至多为 $3$ 的图。同时，我们的结果改进了 Kochol 最初的大周长 snark 构造（1996），在于它给出了任意给定周长 $g\ge 5$ 的无穷多非平凡 snark，而非仅周长至少~$g$。