奇度为4且循环连通度为4的最小snark图阶数为44
组合数学
2019-01-11 v3 离散数学
摘要
snark图族——即不可进行3-边染色的连通无桥三次图——作为图论中若干重要且长期未决猜想的潜在反例来源而广为人知。这些猜想包括圈双覆盖猜想、Tutte的5-流猜想、Fulkerson猜想以及其他若干猜想。研究这些猜想的一种途径是考察snark图的结构性质并构造具有给定性质的小阶例子。本文处理的问题是确定奇度至少为4的非平凡snark图（即循环4-边连通且围长至少为5的snark图）的最小阶数。通过结构分析与大量计算相结合，我们证明了奇度至少为4且循环连通度为4的snark图的最小阶数为44。此前已知此类snark图必须至少有38个顶点[J. Combin. Theory Ser. B 103 (2013), 468--488]，且Lukot'ka等人构造了一个具有44个顶点的此类snark图[Electron. J. Combin. 22 (2015), #P1.51]。该证明需要确定所有36个顶点的循环4-边连通snark图，这将先前编制的所有此类不超过34个顶点的snark图列表[J. Combin. Theory Ser. B, 同上]进行了扩展。作为副产品，我们利用这一新列表检验了若干以snark图作为最小反例的猜想的有效性。
引用
@article{arxiv.1712.07867,
title = {Smallest snarks with oddness 4 and cyclic connectivity 4 have order 44},
author = {Jan Goedgebeur and Edita Máčajová and Martin Škoviera},
journal= {arXiv preprint arXiv:1712.07867},
year = {2019}
}
备注
21 pages